數學佬與物理佬 (增答思存跋)

問

if a : b : c = 2 : 5 : 3 , then 1/a : 1/b : 1/c = ?

數學佬從定義出發:

1/a : 1/b 
= 1/a div 1/b = 1/a * b
= b/a = b : a = 5 : 2

1/b : 1/c 
= c/b = c : b = 3 : 5

Note that  
1/a : 1/b       =  5 : 2
      1/b : 1/c =      3 : 5

Therefore, 
1/a : 1/b : 1/c = 15 : 6 : 10

物理佬很實在的, 也很"亂來"的:

既然三個量 a : b : c = 2 : 5 : 3 ,
單位是任選的, 如果 a = 2 units, 則 b = 5 units, c = 3 units.
代入可得 1/a : 1/b : 1/c = 1/2 : 1/5 : 1/3 = 15 : 6 : 10

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後記. 見思存兄的留言得意忘形, 忍不住要打擊一下他的弱小心靈.

初中學生做選擇題, 也會偷雞做些類似物理佬的事: 選一個abc的特例, 比方2,5,3或20,50,30, 代進去算答案. 但是, 你一定注意到, 這種想法認真來說是險的, 是以偏蓋全: 某一個特例正確, 不保證對所有abc也一般地正確. (雖然做選擇題很管用.)

這和物理佬的做法有甚麼不同呢? 關鍵在 "單位是任選的" 這一句上.


物理佬所講的是, 無論用哪一套單位, 物理都是相同的. 對任何的abc, 無論你用的單位是甚麼 (即使說無論你用哪一種尺) 厘米也好, 英尺也好, abc的比例都是2:5:3. 2:5:3是物理, 跟你選取甚麼單位(觀點)無關.

所以, 對任何的abc, 你總可以選一種"好"的單位 such that a = 2 units, b = 5 units, c = 3 units, 從而得出答案. 這是一般的, 而非特例.

我希望你能看出物理佬的想法跟初中生的分別: 有點見山不是山的禪趣.

數學一點來表達物理佬的想法:

既然三個量 a : b : c = 2 : 5 : 3 ,
對任何給定的a, b, c, 總有一個 k such that a = 2k, b = 5k, c = 3k. (k =/= 0)
由此可見 1/a : 1/b : 1/c = 1/2k : 1/5k : 1/3k = 15 : 6 : 10. (約去k)

這裡的k, essentially 就是所選取的單位.

物理佬的說法表面上好像很玄妙, 很特別, 但其實你想一下, 當你說單位, 比方1個單位,2個單位, 你其實就是說它們是成比例. 倒過來說, 成比例, 就意味著某種單位. 所以到頭來比例與單位, 說來說去essentially不過在說同一回事.