小玩意 (囈語)

如果一個 system of equations 不只有一個解, 那就意味它的解有無限多個. (這裡所謂方程, 是指線性方程.)

比方 A x = b 有 x1 和 x2 這兩個解(起碼),
換句話說, A x1 = b ; A x2 = b .
兩式相減, 可得 A x1 - A x2 = 0 .
因為線性, 所以 A (x1 - x2) = 0 .
為了方便書寫, 設 y = x1 - x2 , 則 A y = 0 .

如此一來, 對於任何real number c , A x1 + c A y = b .
換句話說, A (x1 + c y) = b

因此 x1 + c y 也是 A x = b 的解.
c 是任何real number, 因此 x1 + c y 有無限多個.
於是 A x = b 也有無限多個解.