chessboard

從瘋氏科大處讀到以下問題, 很有趣:

有黑白格子棋盤一張， m 乘 n 格大小，m、n 都是奇數；棋盤的左上角是白格子。假設在其中一格白格子上放一粒棋子，試證明餘下的格子可用兩格大小的骨牌完全覆蓋。

不懂combinatorics, 不知道要證得怎樣的性質才算功德圓滿. 因此只好試試土法炮製, 老老實實找出一個覆蓋的法子, 以作證明.

1. 凡總格數為偶數的實心矩形 (包括一格寬的長條) 都可用兩格大小的骨牌密鋪.

1.1 只要想法子把棋盤上的空格, 分成偶數格數的矩形, 證明就完成.

2. 假設左上角那一格叫 (1,1), 對下一格叫(1,2), 餘此類推. 很明顯, 白格的位置只可能是 (奇,奇) 或 (偶,偶).

BTW
2.1 棋盤四角都是白格.
2.2 黑格的數目是偶數, 白格是奇數. 因此棋子必須在白格, 餘下的棋盤才有望以骨牌密鋪.

3. 如果棋子在(奇,奇)格, 則以此格為心, 橫直抹出一個一格粗的大十字, 於是, 中心及四臂四角就如變了形的九宮格一般, 把棋盤分成了九區. 棋子外的八區都是格數為偶數的矩形, 都可被骨牌密鋪.

4. 如果棋子在(偶,偶)格, 則以此格及四鄰四角, 算做一個三乘三格大小的核心, 類似上法抹出一個三格粗的十字, 把棋盤分成九區. 外八區各矩形的格數仍然是偶數, 因此也可被骨牌密鋪.

5 要是棋子在棋盤邊上更慳功夫, 部分區域消失了不用管就是了.