面積公式

三角形面積公式, 底乘高除以二. 人盡皆知.

今天犬兒說, 老師問他, 何以公式中, 會出現「除以二」. 犬兒說, 因為兩個等同 (全等) 的三角形合起來, 可以組成一個平行四邊形. 已知平行四邊形的面積為底乘高, 故求三角形面積, 底乘高後要除以二.

老師不滿意.

犬兒這個推理不錯, 幾乎正確, 卻有一個漏洞, 不夠周全. 我們可以舉出一個反例, 說法的結構相同, 結論卻相反.

兩個等同的正方形合起來, 可以組成一個長方形. 但正方形的面積, 為底乘高 (或長乘濶), 卻不必除以二.

兩個說法的結構完全相同, 為何一個須除以二, 另一個不必?

關鍵在於, 名同實異.

組合過程中, 所謂的高與底, 前者守恆, 後者改變了. 正方形的例子, 組合後, 底 (或高) 變成兩倍. 底乘以二, 面積取其半, 效用抵消. 因此正方形公式, 沒有除以二.

所以犬兒的說法, 必須點出「組合後的圖形, 高與底與原來相同」, 公式中出現除以二的結論, 方才成立.