巨洞星球 (HKPhO)

HK Physics Olymaid 香港奧物題 2022
P.38 Q3b.

略謂:

某外星文明建一人造星球，
內開一球形巨洞，穴居其中。

設通過星球心與巨洞心的軸為 y 軸。
星球勻質，半徑為 R，密度為 𝜌。
巨洞半徑為 𝑅/2，上接星球表面，下達星球中心。

試證明洞內點一質量 𝑚，不論位於洞內何處，
所受的重力俱為 F = −𝑚𝑔' 𝚥̂，
其中 𝑔' 為正常數，𝚥̂ 是沿 y 軸的單位向量。
並求 𝑔'，答案以 𝜌 和 𝑅 表示。

* * *

拙解:

單論重力, 空心洞不起作用, 等於該洞處處皆填滿兩種密度皆為 𝜌之物質, 一種具引力, 一種具斥力, 互相抵消. 因此, 洞內質點 m 所受重力 :
vec F = 全實心星球所施引力 + 斥力球所施斥力

設質點 m 與星球心的距離為 r，與斥力球心為 r'。 兩球心皆在 y 軸上，故 vec r - vec r' = R/2 𝚥̂.

已知實心球內部某質點所受之重力, 正比於質點與球心距離 (球外則為平方反比). 由此可知 :
vec F
= Gm (𝜌 4/3 𝜋) (vec r - vec r')
= −Gm (𝜌 4/3 𝜋) R/2 𝚥̂
= −m (2/3 𝜋 G𝜌R) 𝚥̂
= −m g' 𝚥̂

其中 g' = 2/3 𝜋 G𝜌R.